Límites del crecimiento exponencial

El crecimiento exponencial se produce siempre que la tasa de natalidad supera a la de mortalidad en una población. Incluso si la tasa de natalidad es sólo ligeramente mayor que la tasa de mortalidad, la población acabará explotando en la conocida curva en forma de J. El crecimiento exponencial sólo es posible cuando se dispone de recursos naturales infinitos, pero éste no es el caso en el mundo real. En el mundo real, con sus recursos limitados, el crecimiento exponencial no puede continuar indefinidamente. El crecimiento exponencial puede producirse en entornos en los que hay pocos individuos y abundantes recursos, pero cuando el número de individuos sea lo suficientemente grande, los recursos se agotarán, reduciendo la tasa de crecimiento. Finalmente, la tasa de crecimiento se estabilizará o se estabilizará. Este tamaño de la población, que representa el tamaño máximo de la población que puede soportar un entorno concreto, se denomina capacidad de carga, y se etiqueta como \(K\). La primera persona que publicó una modificación del crecimiento exponencial que describe este comportamiento en el mundo real fue Pierre Verhulst, en 1838.

En el crecimiento exponencial tradicional, el número de nuevos individuos que se añaden a la población anterior es un porcentaje de la propia población. En otras palabras, la pendiente es proporcional a la población. Por ejemplo, una población que crece al 5% cada año añadiría 5 nuevos individuos cuando la población era de 100, pero añadiría 150 nuevos individuos cuando la población era de 3000. El modelo de Verhulst era diferente, ya que el crecimiento era proporcional a la población y a los recursos disponibles. El número de recursos disponibles se trataba simplemente como un porcentaje, con un 100% disponible al principio y un 0% disponible cuando la población alcanzaba la capacidad de carga.

La fórmula de la población, \(P\), que crece exponencialmente puede escribirse como:
(P = inicio \cdot \left(1 + r\right)^t\)

mientras que una población que alcanza una meseta en la capacidad de carga puede escribirse como:
(P = inicio \cdot \left(1 + (\frac{K-P}{K}) \cdot r\right)^t\)

El único cambio en la ecuación de crecimiento exponencial tradicional es la inclusión del factor \frac{K-P}{K}\, que representa la diferencia entre la población y la capacidad de carga en porcentaje. Por ejemplo, si la capacidad de carga fuera de 100, y la población fuera de 95, entonces habría un 5% de los recursos disponibles para un crecimiento adicional porque \((100-95)/100=5\%\). En ese caso, la tasa de crecimiento sería sólo el 5% de su valor original: \(P=inicio \cdot \left(1 + 5\% \cdot r\right)^t\)

Cuando el crecimiento exponencial se ralentiza y se estabiliza, la curva tiene un aspecto algo parecido a una S. La letra griega correspondiente es «sigma», y el modelo de crecimiento se llama crecimiento sigmoidal. A veces también se denomina «crecimiento logístico», aunque esto puede crear confusión con un modelo de crecimiento muy diferente basado en el logaritmo. Una comparación del crecimiento exponencial y logístico se muestra en el siguiente gráfico para una tasa de crecimiento del 5%, una población inicial de 100 individuos y una capacidad de carga de 2000 individuos.

Nótese que inicialmente, el modelo exponencial y el modelo sigmoidal son casi idénticos. Cuando la población es mucho menor que la capacidad de carga, los recursos son esencialmente ilimitados y la población crece exponencialmente. Sólo cuando la población se acerca a la capacidad de carga, la tasa de crecimiento disminuye notablemente y la curva sigmoidal se estabiliza.

Nótese también que el modelo de crecimiento sigmoidal no se hace cada vez más pronunciado como el modelo de crecimiento exponencial. La parte más empinada de la curva sigmoidal está exactamente en la mitad de la población máxima, o K/2 Para las poblaciones que son más pequeñas que K/2, el crecimiento se está acelerando. Para las poblaciones que son mayores que K/2, el crecimiento se está desacelerando.